AMC8 · COUNTING STRATEGIES

排列组合 · 策略卡

排列 Permutation · 组合 Combination · 加法原理 · 乘法原理
🎯 一句话总纲：先看"顺序重不重要"定排列/组合；再看"一步完成还是分步完成"定加法/乘法。
1拿到计数题，先走这张流程图
拿到计数题
先问：交换顺序算不同吗？
↘
顺序重要 → 排列 P(n,r)
排队 · 密码 · 名次 · 职位
↘
顺序不重要 → 组合 C(n,r)
选代表 · 分组 · 选书
同时再问：这件事怎么完成？
↙
分步完成（缺一不可）→ 乘法
各选一种 · 搭配 · 先…再…
↙
分类完成（互斥二选一）→ 加法
拿1本 · 选1样 · 要么…要么…
💡 最容易错的一步：先判断是排列还是组合（顺序），再判断是加法还是乘法（分步/分类）。两道题可能是"同一件事"——比如"7 人选 2 人当代表"是 C(7,2)=21，"7 人选 2 人分任正副班长"是 P(7,2)=42，只差一个"顺序"。
2四大策略卡
➕
加法原理
分类 · "或" · 互斥事件
是什么做一件事有 k 类办法，第 1 类 n₁ 种、第 2 类 n₂ 种……且类与类互斥（不可能同时发生）→ 总数 = n₁ + n₂ + … + nₖ
何时用只完成一次选择，且答案是"要么 A 类、要么 B 类"
拿 1 本选 1 样二选一要么…要么…或
例题书架有 4 本数学书 + 5 本英语书，拿 1 本：4 + 5 = 9 种
（只拿一本，数学或英语，不可能两本都拿 → 加）
易错误用乘法 4×5=20——那是"各拿一本"。追问自己："拿 1 本还是 2 本？" → 1 本就加。
✖️
乘法原理
分步 · "且" · 缺一不可
是什么一件事要分 r 步完成，第 1 步 n₁ 种、第 2 步 n₂ 种……每一步都要做 → 总数 = n₁ × n₂ × … × nᵣ
何时用要连续完成多个选择，答案里是"每样都要选一个"
各选一种套餐/搭配先…再…都要且
例题餐厅 3 种主食 × 4 种饮料，各选一种组成套餐：3 × 4 = 12 种
（主食要选、饮料也要选，两步缺一不可 → 乘）
易错误用加法 3+4=7——那是"只选一样"。追问自己："少选一样还算完整套餐吗？" → 不算就乘。
🔀
排列 P(n, r)
顺序重要 · 排成一列
是什么从 n 个不同元素中取 r 个排成一列，谁在前谁在后算不同 → 排列数
P(n, r) = n! / (n−r)!
= n×(n−1)×…×(n−r+1)
何时用交换顺序算不同情况：把东西"安排到不同位置/职位/名次"上
排队照相密码名次职位座位
例题6 人选 3 人任班长/副班长/学委：P(6,3) = 6×5×4 = 120
（3 个职位不同，选 A 当班长 ≠ 选 A 当副班长）
易错把排列当组合（漏算顺序）。验证："班长和副班长对调算同一种吗？" → 不算 = 排列。
✋
组合 C(n, r)
顺序不重要 · 只选不排
是什么从 n 个不同元素中取 r 个，只看选谁不看顺序 → 组合数
C(n, r) = n! / [r!·(n−r)!]
= n×(n−1)×…×(n−r+1) ÷ r!
何时用交换顺序算同一种：只是"选出几个人/几本书/一组人"
选代表分组选书送人委员会抽签
例题7 人选 2 人当代表：C(7,2) = 7×6÷2 = 21
（选"张三李四"和"李四张三"是同一件事）
易错忘除以 r!（把内部顺序算进去了）。先算排列再 ÷r!："C(7,2) = 42 ÷ 2 = 21"。
3两组高频对比（考试就考这个）
对比加法 ➕ / 排列 🔀乘法 ✖️ / 组合 ✋
加法 vs 乘法分类："或"，两类不可能同时发生
例：拿 1 本书 → 4+5		分步："且"，每步都要做
例：各拿 1 本数学和英语 → 4×5
排列 vs 组合顺序重要：对调算不同
例：2 人分任班长/副班长 → P(5,2)=20		顺序不重要：对调算同一种
例：2 人当代表 → C(5,2)=10
同一题改一字"5 人选 2 人分别担任班长和副班长"
P(5,2) = 20		"5 人选 2 人一起当代表"
C(5,2) = 10
记忆口诀加"或"、排"序" —— 一选一排乘"且"、组"选" —— 分步选人
4进阶武器库（用熟了再上）
🧮 阶乘 n!
全排列的地基：n! = n×(n−1)×…×1。记住 0!=1，5!=120，6!=720。
n! / m! = 只留多出的几层
⭕ 圆桌排列
围成一圈，转一下不算新排法：先固定 1 人再排。
n 人圆桌 = (n−1)!
🪢 捆绑法
某几个必须相邻 → 捆成一捆当整体，排完再排内部。
相邻 = 捆绑 × 内部排
🪄 隔板法
相同的糖分给不同的人、每人至少 1 颗 → 空隙里放隔板。
C(n−1, r−1)
🔄 正难则反
"至少/不满足"难算时，用总数 − 不符合的情况。
总数 − 非法 = 合法
📏 数矩形/递增数
矩形 = 选 2 竖线 × 选 2 横线；递增数 = 选出数字自然排序。
C(m,2)×C(n,2) · C(9,n)

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